1. קוביות גיאומטריות. מהו קובייה אלכסונית, וכיצד למצוא אותה או קסכדרון) הוא דמות תלת-ממדית, כל פרצוף...

קוביות גיאומטריות. מהו קובייה אלכסונית, וכיצד למצוא אותה

או קסכדרון) הוא דמות תלת-ממדית, כל פרצוף הוא ריבוע שבו, כידוע, כל הצדדים שווים. האלכסון של הקובייה הוא קטע העובר במרכז הדמות ומחבר קודקודים סימטריים. בקסקסרון רגיל יש 4 אלכסונים, וכולם יהיו שווים. חשוב מאוד לא לבלבל את האלכסון של הדמות עצמה באלכסון של פניה או ריבועה, הנמצאת בבסיסה. פני האלכסון של הקובייה עוברים דרך מרכז הפנים ומחברים את הקודקודים הנגדיים של הכיכר.

פורמולה למציאת הקובייה האלכסון

האלכסון של polyhedron רגיל ניתן למצוא באמצעות נוסחה פשוטה מאוד, כי צריך לזכור. D = a3, כאשר D הוא האלכסון של הקוביה, והוא הקצה. אנחנו נותנים דוגמה לבעיה שבה יש צורך למצוא אלכסונית, אם ידוע כי אורך הקצה שלה הוא 2 ס"מ כאן הכל רק D = 2√3, אפילו שום דבר לא צריך להיחשב. בדוגמה השנייה, תן את הקצה של הקוביה להיות √ 3 ס"מ, אז אנחנו מקבלים D = √3√3 = √9 = 3. תשובה: D הוא 3 ס"מ.

הנוסחה שבאמצעותה ניתן למצוא את האלכסון של הקובייה

דיאגו אתה יכול גם למצוא את הפנים על ידי הנוסחה. האלכסונים המונחים על הקצוות הם רק 12 חלקים, וכולם שווים. כעת אנו זוכרים d = a2, כאשר d הוא האלכסון של הריבוע, והוא גם קצה הקוביה או צד הריבוע. הבנת שם נוסחה זו באה פשוטה מאוד. אחרי הכל, את שני הצדדים של הכיכר ואת הצורה אלכסונית.בשלוש זה, האלכסון משחק את התפקיד של hypotenuse, ואת הצדדים של הכיכר הן הרגליים, אשר באותו אורך. נזכיר את משפט פיתגורס, והכל מיד תיפול. עכשיו המשימה: הקצה של הקסדרון הוא √ 8 ס"מ, יש צורך למצוא את האלכסון של פניו. אנחנו מכניסים לתוך הנוסחה, ואנחנו מקבלים d = √8 √2 = √16 = 4. תשובה: האלכסון של פני הקובייה הוא 4 ס"מ.

אם הפנים האלכסוניות של הקוביה ידועות

לפי מצב הבעיה, אנו מקבלים רק את האלכסון של הפנים של פוליאתרון רגיל, כלומר, √ 2 ס"מ, ואנחנו צריכים למצוא את האלכסון של הקוביה. הנוסחה לפתרון בעיה זו היא קצת יותר מסובכת מאשר הקודמת. אם אנחנו יודעים D, אז אנחנו יכולים למצוא את קצה הקוביה, על בסיס הנוסחה השנייה שלנו d = a√. אנחנו מקבלים = d / √2 = √2 / √2 = 1cm (זה הקצה שלנו). ואם כמות זו ידועה, אז קל למצוא את הקובייה באלכסון: D = 1√3 = √3. כך פתרנו את הבעיה שלנו.

אם שטח הפנים ידוע

אלגוריתם הפתרון הבא מבוסס על מציאת אלכסונית על ידי מניח כי הוא שווה 72 ס"מ 2. ראשית, נמצא את השטח של אחד הפנים, ויש שישה מהם לגמרי, אז 72 צריך להיות מחולק ב 6, אנחנו מקבלים 12 ס"מ 2. זהו השטח של היבט אחד. כדי למצוא את קצה של polyhedron רגיל, יש צורך לזכור את הנוסחה S = a 2, כלומר = √S. תחליף ואנחנו מקבלים = √12 (קצה הקוביה). ואם אנחנו יודעים את הערך הזה, אז אלכסון לא קשה למצוא D = a33 = √12 √3 = √36 = 6. התשובה: האלמנט הקוביה הוא 6 ס"מ 2.

אם אורך קצוות הקוביה ידוע

ישנם מקרים שבהם הבעיה ניתנת רק את אורך כל הקצוות של הקוביה. אז יש צורך לחלק את הערך על ידי 12. זהו מספר הצדדים של polyhedron הנכון. לדוגמה, אם סכום כל הקצוות הוא 40, אז צד אחד יהיה שווה ל 40/12 = 3.333. אנחנו מכניסים לתוך הנוסחה הראשונה שלנו ומקבלים את התשובה!

שבו אתה צריך למצוא את קצה הקוביה. זו ההגדרה של אורך קצה הקובייה על ידי שטח פני הקובייה, לפי נפח הקובייה, באלכסון פני הקובייה ובאלכסון הקוביה. שקול את כל ארבע האפשרויות עבור משימות כאלה. (המשימות הנותרות, ככלל, הן וריאציות של מעל או משימות טריגונומטריה, אשר קשורים מאוד בעקיפין לנושא בחשבון)

אם אתה יודע את השטח של קובייה בפנים, ואז למצוא קצה הקוביה היא פשוטה מאוד. מכיוון שפן הקובייה הוא ריבוע בעל צד שווה לקצה הקובייה, שטחו שווה לריבוע קצה הקובייה. לכן, אורך קצה הקובייה שווה לשורש הריבועי של שטח הפנים שלו, כלומר:

ו - אורך הקצה של הקוביה,

S הוא השטח של פני הקוביה.

מציאת פניו של הקוביה בנפח הוא אפילו קל יותר. בהתחשב בעובדה שקיבולת הקובייה שווה לקובייה (של התואר השלישי) של אורך קצה הקובייה, אנו קובעים כי אורך קצה הקובייה שווה לשורש המעוקב (התואר השלישי) של נפחו, דהיינו:

ו - אורך הקצה של הקוביה,

V הוא נפח הקוביה.

מציאת אורך קצה הקובייה לאורך אורכים אלכסוניים ידועים הוא קצת יותר קשה. סמן לפי:

ו - אורך קצה הקובייה;

ב - אורך אלכסון פני הקובייה;

ג - אורך הקובייה באלכסון.

כפי שניתן לראות מן הדמות, האלכסון של הפנים ואת הקצוות של הקוביה יוצרים משולש שווה צלעות מלבני. לכן, על פי משפט פיתגורס:

מכאן אנו מוצאים:

(כדי למצוא את קצה הקוביה אתה צריך לחלץ שורש ריבועי מחצי ריבוע הפנים האלכסוניות).

כדי למצוא את קצה הקוביה לאורך האלכסון שלה, אנו משתמשים בדפוס שוב. האלכסון של הקוביה (ג), האלכסון של הפנים (ב), וקצה הקובייה (א) יוצרים משולש ישר. אז, על פי משפט פיתגורס:

אנו משתמשים במערכת היחסים הנ"ל בין a ו- b ותחליף בנוסחה

b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. אנחנו מקבלים:

a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, כאשר אנו מוצאים:

3 * a ^ 2 = c ^ 2, ולכן:

קובייה היא מלבנית מקבילה, שכל קצוותיה שווים. לכן, הנוסחה הכללית של נפח מלבני מקבילים יחד את הנוסחה על פני השטח שלה במקרה של קובייה הם פשוטים. כמו כן, נפח של הקוביה ואת פני השטח שלה ניתן למצוא, בידיעה את נפח הכדור כתוב בו, או את הכדור המתואר סביבו.

יהיה עליך

• אורכו של הקובייה, רדיוס הכדור המתואר והמתואר

הדרכה

נפח מלבני מקבילים הוא: V = abc - כאשר a, b, c הם הממדים שלה. לכן, נפח הקובייה שווה ל- V = a * a * a = a ^ 3, כאשר a הוא אורך צדו של הקובייה , שטח השטח של הקוביה שווה לסך השטח של כל פניהם. לקובייה יש שישה פרצופים, ולכן שטח הפנים שלה הוא S = 6 * (a ^ 2).

תן את הכדור לתוך הקובייה. ברור, את הקוטר של הכדור הזה יהיה שווה בצד של הקוביה . החלפת אורך הקוטר בביטוי נפח במקום אורך קוביית הקובייה והשימוש בקוטר שווה לרדיוס כפול, אזי נקבל V = d * d * d = 2r * 2r * 2R = 8 * (r ^ 3), כאשר d הוא קוטר העיגול ו- r הוא הרדיוס של העיגול, ואז השטח של הקובייה יהיה S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).

תן את הכדור להיות מתואר סביב קובייה . ואז קוטר שלה יעלה בקנה אחד עם האלכסון של הקוביה . האלכסון של הקובייה עוברת במרכז הקובייה ומחברת את שתי נקודות הפוכה.
חשבו תחילה על אחד מקווי הקובייה . הקצוות של פן זה הם הרגליים של המשולש הימני, שבו האלכסון של הפנים ד יהיה hypotenuse. לאחר מכן, לפי משפט פיתגורס, אנו מקבלים: d = sqrt (a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.

לאחר מכן שקול את המשולש שבו ההיפוטנוס הוא האלכסון של הקובייה , והאלכסון של הפנים d ואחד מקצות הקוביה a הוא רגליו. באופן דומה, לפי משפט פיתגורס, אנו מקבלים: D = sqrt (d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3).
לכן, על פי הנוסחה הנגזרת, האלכסון של הקוביה הוא D = A * sqrt (3). לפיכך, = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). לכן, V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt) (3), כאשר R הוא רדיוס הכדור המתואר שטח פני הקובייה הוא S = 6 * (D / sqrt (3)) ^ 2) = 6 * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).

לעתים קרובות יש משימות שבהן אתה צריך למצוא את קצה הקוביה, לעתים קרובות זה צריך להיעשות על בסיס מידע על נפח, אזור הפינה שלו או באלכסון. ישנן מספר אפשרויות להגדרת קצה הקוביה.

במקרה זה, אם השטח של הקוביה ידוע, אז הקצה ניתן לקבוע בקלות. פני הקובייה הם ריבוע עם צד השווה לקצה הקובייה. לפיכך, שטחו שווה לקצה המרובע של הקוביה. יש להשתמש בנוסחה: a = √S, כאשר a הוא אורך הקובייה, ו- S הוא שטח הפנים של הקוביה. מציאת קצה הקוביה לפי עוצמת הקול שלו היא משימה פשוטה אף יותר. יש צורך לשקול את עוצמת הקול של הקוביה שווה קובייה (במדרגה השלישית) את אורך הקובייה. מתברר כי אורך הקצה שווה לשורש הקוביה של הנפח. כלומר, אנו מקבלים את הנוסחה הבאה: a = √V, כאשר a הוא אורך קצה הקובייה, ו- V הוא נפח הקוביה.

באלכסון, אתה יכול גם למצוא את קצה הקוביה. בהתאם לכך, אנו זקוקים: a - אורך קצה הקובייה, b - אורך אלכסון פני הקובייה, c - אורך האלכסון של הקוביה. לפי משפט Pythagorean, אנו מקבלים: a ^ 2 + a ^ 2 = b = 2, ומכאן ניתן בקלות להפיק את הנוסחה הבאה: a = √ (b ^ 2/2), אשר מחלץ את קצה הקוביה.

שוב, באמצעות משפט Pythagorean (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2), אנו יכולים לקבל את היחסים הבאים: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, שממנו אנו שואבים: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, ולכן, את הקצה של הקוביה ניתן להשיג כדלקמן: A = √ (c ^ 2/3).